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照镜子为什么是左右颠倒,而不是上下颠倒?

这是个虽然简单但是很有意思的问题,以前我竟然未曾想过。后来看到「宇宙的心弦」上对这个问题的回答写得太模糊(什么叫「镜子里头脚的位置没变」?「位置没变」的定义是什么?),所以这里写一个尽可能精确描述的回答。首先,我们讨论最容易引起问题的那种情景,即人站立时正面照镜子。

首先定义几个概念。

左右。以你为原点,你的左手方向为左,右手方向为右。(你知道哪只手是左手吧?)

上下。站在地球表面,在空中静止释放一物体,由于重力,它会运动起来。其运动方向为下,反之为上。

前后。这个有点奇特。你面前站了一个人,背心对着你的时候,这是那人的面。面对着你的时候,你看到那人的面。我们的问题隐含了作为观察者的你,去看外界的像,而不是考察你自己,对吧?

让我们再定义一下坐标系。

右为 x 轴正方向,上为 y 轴正方向,由你(观察者)的后背指向你的胸前为 z 轴正方向。

作为观察者,这里有一个很明白的变换:你所认为「正」的像,其坐标要绕 y 轴旋转 180°,才能与你观察时使用的坐标系一致。让我解释得更清楚一些——

拿鼠标指针选中你,按一下Ctrl-D(如果你不是 Inkscape 用户,那就按一下Ctrl-C再按一下Ctrl-V)。现在有了你的一个像。但是你看不到它,因为它和你重合了。让我们把这个像向 z 轴正方向平衡一段距离,比如 2m,你再看看?哟,它怎么背对着你呀?不行,再原地转身 180°,这样才能看到正面不是?

忽略掉平移,让我们把这个变换记作 \(T_1\),有

$$ T_1 = \begin{bmatrix} \cos{\pi} & 0 & \sin{\pi} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin{\pi} & 0 & \cos{\pi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$

我们再来考察一下镜子做了什么。

想像镜子前有一个坐标系的三根轴,就是我们刚刚定义的那个。其中 z 轴正方向指向镜面。于是乎,镜子里的 x 轴与外边的 x 轴是平行且方向一致的。y 轴也是这样。但是 z 轴的位置没有改变,方向却反了过来,箭头对箭头了。所以,这种放置法,使得像与物体的 z 轴反了,\(z\) 变成了 \(-z\)。还是忽略掉平移,让我们把这个变换记作 \(T_2\)

$$ T_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} $$

所以,最终作为观察者的你,看到的镜中的自己经历的变换是:

$$ T_1 T_2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

即最终的像的坐标中的 \(x\) 变成了 \(-x\),即左右颠倒。

让我们再考虑另一种情况试试。如果把镜子放在头顶上,看过去会是什么感觉呢?

这时候,y 轴一头扎进了镜子,于是,我们的第三个变换 \(T_3\) 为:

$$ T_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} $$

乘一下,结果是:

$$ T_1 T_3 = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} $$

咦?这不是上下、左右、前后都颠倒了吗?找面位于天花板的镜子试试看。上下的确颠倒了不是么?再伸出左手试试,左右也和在面前的镜子里一样,也是颠倒的。可,前后感觉并没有颠倒啊?这是因为观察者和被观察对象位于同一垂直线上,感觉不一样了。仔细想想,天花板镜子里的像的前后确实与面前的镜子晨那个的前后是对着的,不是么?而我们定义后者没有颠倒,那么前者当然相对于后者是颠倒过了嘛。

个人拙见 =w=

Category: 未分类 | Tags: 物理
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有一天...

有一天,电子和正电子相爱了……

Category: 文学 | Tags: 爱情 物理

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